普拉托問題

等待飛翔

Plateau's problem（普拉托問題）

這個問題看上去非常簡單，就是問在邊界固定的情況下，什么樣子的曲面面積最小。這在物理上是一個很顯然的問題。根據(jù)普拉托定律，你拿個鐵絲彎成邊界，然后吹肥皂泡就好了。但是這個在數(shù)學上來說，是一門學科，幾何測度論（Geometric measure theory）的核心問題。

為什么說這個問題難呢？我們考慮一個簡單的情形，即在三維空間中邊界為圓弧的曲面。這個問題答案很顯然，就是圓盤。但是從數(shù)學角度而言，這個不簡單。

通常的想法就是，我們可以把曲面視為一個從二維圓盤到三維空間的映射，然后利用變分法去考慮這個問題。但是這個方法有著很多毛病，其中最大的問題就是缺乏緊性。我們不妨試著跟著這個思路走一下，看看會出怎樣的問題。

1．遍歷所有可能的曲面，然后取一個面積趨近于最?。╥nfimum）的序列；

2．找出一個收斂子序列；

3．證明極限就是我們想要的曲面，即最小曲面。

在這三步計劃中，第二步就會出現(xiàn)很大的問題。比如：

【我是一個有理想的曲面，我的目標是要成為極小曲面】

【嗯，我的面積縮小了。感覺好棒！】

【我的面積又縮小了?？墒菫槭裁次腋杏X怪怪的呢……】

【啊……肯定有……有什么不對……啊……怎么回事……我的面積明明縮小了啊……為什么……我感覺好奇怪啊……不行啊……為什么會變得這么奇怪呢……啊……】

【圖片來源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】

看看，物理中多么顯然的東西，在數(shù)學中就是這么的讓人糾結。存在性就已經夠難了，更別說正則性（即最小曲面是否光滑等等）……這個問題直到 20 世紀中期才有解決方法。具體方法涉及專業(yè)知識較多，我自己也不是很熟悉，就不細說了。

其實這種問題很多。比如在給定條件（比如邊值）下的拉普拉斯方程

的解的問題。這個問題在物理上也是幾乎顯然的，因為電勢就是解。但是在數(shù)學上這個問題并不簡單，一般而言需要 Sobolev 空間等知識進行解決。

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那些說我是在黑數(shù)學的，請仔細思考一下：普拉托定律僅僅是經驗性定律，根本無法保證在所有的情況下結論都成立。而數(shù)學就是將特殊到一般的過程。

另外，下面知友 @王醒 的回答（https://www.zhihu.com/question/30015911/answer/46436812 ）中已經補充了數(shù)學上關于曲面面積的定義。在上面第二步中，我說找到一族收斂子序列，其實是很不嚴謹?shù)?。因為我沒有說是什么收斂，也沒有說收斂極限在哪兒。事實上我們需要的極限必須是可求面積的曲面（請跟可求長度的曲線比較起來理解）。所以如何保證極限不會很奇怪，就是存在性的主要工作。

2015-05-06

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