7.2.1 極值理論介紹

極值理論(Extreme Value Theory，EVT)是統(tǒng)計學的分支，自20世紀30年代由Fisher和Tippett(1928)首次提出以來，長期應用于水力學和保險學中。極值，從統(tǒng)計學意義上講，是指某一時期的隨機過程的最大值和最小值，通常位于金融收益分布的尾部。EVT通過利用極限準則，研究極端樣本事件對金融資產(chǎn)回報的“厚尾”分布建模，負責分析和解釋極端事件。極值理論主要研究的是極值分布及其特征，尤其是分布的尾部特征，它是測量極端市場條件下風險損失的一種方法，具有超越樣本數(shù)據(jù)的估計能力，并可以準確地描述分布尾部的分位數(shù)。

Longin(2000)提出了在股災、金融危機等極端情形下計算Va R值的方法——極值方法。其主要思想是:計算Va R值時分別考慮兩種情形，即總的市場狀況以及分解成風險因子的市場狀況，分別用對稱穩(wěn)定分布和對稱多變分布進行擬合，將證券的歷史收益加以分析，彌補了一般計算Va R值低估損失的缺陷。Ho等(2000)應用極值理論的方法研究了1998年亞洲金融危機中的六個亞洲國家和地區(qū)的股票市場收益率情況，發(fā)現(xiàn)極值方法預測的市場風險與實際情況更加接近，優(yōu)于傳統(tǒng)的Va R計算方法。然而Lee Saltogˇlu(2002)把極值理論應用于日本股票市場的風險測量，得出不同的結(jié)論，即極值方法與傳統(tǒng)Va R計算方法在預測風險方面的結(jié)果沒有大的差別。

7.2.2 基于EVT-BMM的Va R測度方法

1)次序統(tǒng)計量

假定X1，X2，…，Xn是取自分布函數(shù)F(x)的總體的一系列樣本，將其按照升序排列，可得:X(1)≤X(2)≤…≤X(n)稱(X(1)，X(2)，…，X(n))為次序統(tǒng)計量， X(i)為第i個次序統(tǒng)計量。稱X(1)=min(X1，X2，…，Xn)為樣本極小值， X(n)=max(X1，X2，…，Xn)為樣本極大值，統(tǒng)稱為樣本極值。設F(x)為總體的分布函數(shù)，F(xiàn)1(x)為極小值分布函數(shù)，F(xiàn)n(x)為極大值分布函數(shù)，則總體分布與他們之間有如下關(guān)系:

F1(x)=P(X(1)≤x)=1-P(X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x)=1-(1-F(x))n　(710)

Fn(x)=P(X(n)≤x)=P(X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x)=Fn(x)　(711)

以上兩式說明，可以從總體分布得到極值分布，然而當總體分布未知的情況下，人們常用的是n→∞時所得到的極值漸進分布。

2)廣義極值分布(GEV)

顯然0≤F(x)≤1，當n→∞時，樣本的極大值分布或極小值分布為0或1退化分布。假定存在實數(shù)列an，6n使得標準化的最大值序列Zn=(X(n)-6n)/an是依分布收斂的，其中an＞0。

定理1 (Fisher-Tippett)如果存在實數(shù)列an＞0，6n滿足，當n→∞時， P{(X(n)-6n)/an≤x}=Fn(anx+6n)有非退化極限分布，則存在位置參數(shù)和尺度參數(shù)μn，σn＞0，使得當n→∞時，(712)Fn(x)-Hξ((x-μn)/σn)→0

其中，

其中參數(shù)ξ是形狀參數(shù)，它決定了標準極值分布Hξ的尾部行為，當ξ＞0時，α=1/ξ稱為尾部指數(shù)。如果F的尾部以指數(shù)形式衰減，Hξ是Gumbel型的，且ξ=0，Gumbel型吸引場中分布都是瘦尾的，例如，正態(tài)、對數(shù)正態(tài)、指數(shù)和伽馬分布。如果F的尾部以冪函數(shù)衰減，即1-F(x)=x-1/ξL(x)，則Hξ是Frechet型的且形狀參數(shù)ξ＞0。Frechet型吸引場中分布都是厚尾的，包括帕累托、柯西、t-分布。若F的尾部是有限的，則Hξ是Weibull型的且形狀參數(shù)ξ＜0，Weibull型吸引場中分布有界的支集，例如，均勻分布和貝塔分布。

具體而言:

ξ＞0對應于Frechet分布，其形狀參數(shù)α=1/ξ，

ξ＜0對應于Weibull分布，其形狀參數(shù)α=-1/ξ

ξ=0對應于Gumbel分布，Λ(x)=exp(exp(-x))x∈R

當存在位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ時，極值分布為:

3)分塊樣本極大值法(Block Maxima Method，BMM)

分塊樣本極大值法(BMM)是對大量同分布的樣本分塊后的極大值進行建模，將Xt的所有樣本數(shù)據(jù)分成m塊，每塊包含n個數(shù)據(jù)，實際研究中可以按照年或季度分塊。假設Xt的分布函數(shù)為F(x)，n個隨機變量X1，X2，…，Xn的極大值為Mn，即Mn=max(X1，X2，…，Xn)，其分布函數(shù)為:

FMn(x)=P(Mn≤x)=P(X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x)=Fn(x)　(717)

Fisher-Tippet定理證明存在實數(shù)列μn，σn使得正規(guī)化的最大值序列Zn=(Mn-μn)/σn是依分布收斂的，其中σn＞0。即對某個非退化的分布函數(shù)H (x)，當n→∞時有:

其中Hξ，μ，σ(x)為廣義極值分布。要想得到廣義極值的分布函數(shù)，需要對參數(shù)ξ，μ，σ進行估計，估計過程如下:

將總體樣本數(shù)為T的樣本分為m組，每組個樣本個數(shù)n=T/m，令M(j)n 表示第j組內(nèi)的最大值，得到序列{M(1)n，…，M(m)n }并用此來估計廣義極值分布的參數(shù)。假設ξ≠0，其對數(shù)極大似然函數(shù)為:

當ξ=0時，對數(shù)極大似然函數(shù)為:

當ξ≠0時，GEV的密度函數(shù)為:

其對數(shù)似然函數(shù)為:

令，求解可得到ξ的最大似然估計。

由廣義極值分布(GEV)公式，時計算分位數(shù)函數(shù)即求這個函數(shù)的反函數(shù)，并把Va R=F-1(p)代入可得:

其中，p為置信水平，n為組內(nèi)樣本個數(shù)，若按季節(jié)劃分，則n=60。

4)基于EVT-BMM的動態(tài)Va R模型計算步驟

(1)得到流動性變化序列DLt的負數(shù)。

(2)用EVTVBMM方法估計-DLt的尾部分布，得到參數(shù)的估計值ξ和μ， β的估計值，得到最大值序列的分布函數(shù)Hξ，μ，β(x)。

(3)根據(jù)式(7-23)可以計算置信水平為q的分位數(shù)Va R(x)q。

7.2.3 基于EVT-BMM的流動性風險Va R與有效性檢驗[1]

1)基于分塊樣本極大值法的參數(shù)估計

本節(jié)所使用的數(shù)據(jù)與7.1節(jié)數(shù)據(jù)相同，詳情參看7.1節(jié)。按照季度分組時，每組約60個數(shù)據(jù)，共26個塊，在S-plus中用EVT-BMM方法估計-DLt的尾部分布，估計過程采用如上所述的最大似然法，參數(shù)ξ和μ，σ的估計值及其標準差和t-統(tǒng)計量的結(jié)果如表7-10所示。

表7-10 基于BMM的廣義極值分布參數(shù)估計

表7-10的估計結(jié)果表明，上證指數(shù)和浦發(fā)銀行不能拒絕參數(shù)ξ=0的原假設，說明它們處于Gumbel型的吸引場中，其流動性變化率的分布瘦尾的，例如，正態(tài)、對數(shù)正態(tài)、指數(shù)和伽馬分布。而中金嶺南的形狀參數(shù)ξ顯著大于0，則說明它處于Frechet型的吸引場中。其流動性變化率的分布是厚尾的，例如帕累托、柯西、t-分布。

2)基于EVT-BMM的Va R值及其失敗率檢驗

根據(jù)表7-10的參數(shù)估計值，我們利用Va R(x)q=μ-σ·{1-[-ln(p)]-ξ}/ξ計算不同的置信水平下，各個樣本的Va R值，這里我們分別考察了置信水平為90%，95%和99%三種情況。我們需要對得到的Va R值進行失敗率檢驗，從而判斷得到的結(jié)果是否合理。由二項式過程可得在T個樣本中發(fā)生N次失敗的頻率為:(1-p)T-Np NKupiec提出了對零假設p=p*最適合的檢驗，即似然比率檢驗，也稱為LR檢驗，表示為:

LR=-2ln[(1-p*)T-Np*N]+2ln[(1-N/T)T-N(N/T)N](724)

在零假設下，統(tǒng)計量LR服從自由度為1的χ2分布，它的95%置信水區(qū)臨界值為3.84，如果LR＞3.84，則拒絕原模型。下面給出在90%、95%和99%置信水平下，采用EVT-BMM方法計算的各個樣本的Va R值及采用Kupiec失敗率檢驗法所得到的結(jié)果，如表7-11所示。

表7-11 研究樣本的流動性風險Va R值及失敗率檢驗

在模型假設合理的情況下，失敗率檢驗的結(jié)果應該與顯著性水平相接近，例如在置信水平為90%的情況下，合理的失敗率應該是10%左右。表7-11中對于Va R值的失敗率檢驗結(jié)果表明，無論是90%，95%還是99%的置信水平下，所得到的失敗率次數(shù)都很低，這說明Va R值都比較保守，太保守的Va R值并不利于投資者對資產(chǎn)流動性風險的管理或控制。我們對比第一節(jié)采用條件方差方法動態(tài)測度流動性風險Va R值的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，采用EVT-BMM方法得到的Va R值均接近于動態(tài)Va R方法中計算的最大Va R值，采用極值理論計算樣本Va R的方法太保守。

[1] 這部分內(nèi)容摘自國家自然科學基金項目“證券市場流動性價值理論與實證分析技術(shù)”(編號:70773075)的研究成果。