費(fèi)馬大定理和費(fèi)馬小定理

如果三個正整數(shù)分別是某個直角三角形的三條邊長，這樣的三個正數(shù)就叫做勾股數(shù)。一般地說，勾股數(shù)就是不定方程X²+Y²=Z²的每一組正整數(shù)解。

在公元前1900—1600年的巴比倫泥塊中，記載了一些如(119，120，169)，(3367，3456，4825)，(12709，13500，18541)這樣一些數(shù)值很大的勾股數(shù)，說明當(dāng)時已經(jīng)有人開始探求勾股數(shù)的公式。

歐幾里得在《幾何原本》中第一次給出了求勾股數(shù)的公式。中國的《九章算術(shù)》則最先給出了它的現(xiàn)代形式:

設(shè)(z+x)∶y=m∶n(m＞n＞0)，則

x∶y∶z=∶mn

顯然利用公式可以給出不定方程x²+y²=z²的無限多級解。然而這個結(jié)果自然會引出這樣的一個話題，在公式x²+y²=z²中，若未知數(shù)的次數(shù)比2還大，還有沒有正整數(shù)解呢?

大約在1637年，費(fèi)馬經(jīng)過認(rèn)真總結(jié)研究，證明出一個立方數(shù)不可能表示為兩個方立方數(shù)之和，一四次方數(shù)也不可能表示兩個四次方數(shù)之和。一般說來，當(dāng)正整數(shù)n＞2時，不定方程xⁿ+yⁿ+zⁿ沒有正整數(shù)解，這就是人們常說的費(fèi)馬大定理?？墒?，人們一直沒有發(fā)現(xiàn)費(fèi)馬的證明，這就激起了許多數(shù)學(xué)家對這個問題的興趣。

歐拉證明了n=3或4的情形，即方程x³+y³=z³與x⁴+ y⁴=z⁴沒有不為零的正整數(shù)解。

19世紀(jì)數(shù)學(xué)家勒讓德和狄里赫勒同時證明了n=5的情況。之后數(shù)學(xué)家拉梅又證明了n=7的情況。

為了得到費(fèi)馬大定理的普遍證明，1908年德國哥廷根科學(xué)院懸賞10萬馬克，向全世界征求解答，限期100年，吸引得某些商人也加入了研究行列。但由于費(fèi)馬大定理不可能有初等證明，因而那些連初等數(shù)論的基本常識都不熟悉的人，對此只能“望洋興嘆”了。

為什么叫“費(fèi)馬大定理”而不叫“費(fèi)馬定理”呢?那是因為費(fèi)馬在1640年還發(fā)現(xiàn)過一個定理。

如果p是質(zhì)數(shù)，并且a與p互質(zhì)，那么數(shù)a^p－a一定能被p整除。這是初等數(shù)論中的一個重要定理，但證明的難度及影響遠(yuǎn)不如“費(fèi)馬大定理”，因此，后人把它稱做“費(fèi)馬小定理”。