第三節(jié)　數(shù)學課程的傳統(tǒng)

我國數(shù)學教學有許多行之有效的優(yōu)秀傳統(tǒng)，包括近代的和現(xiàn)代的傳統(tǒng)。人們對我國數(shù)學課程傳統(tǒng)的理解，正在與時俱進，不斷完善。

一、三大能力，同步發(fā)展的傳統(tǒng)

我國自20世紀60年代初以來，逐步形成了發(fā)展以計算能力、邏輯思維能力、空間想像能力等三大能力為代表的數(shù)學教學理念。

1．三大能力，相互依存

把發(fā)展三大能力作為我國數(shù)學教學的主要目標，并且讓學生的三大能力得到同步的發(fā)展，是新中國成立以來形成的數(shù)學教學傳統(tǒng)之一。三大能力的含義，也隨著時間的推移，不斷明確，不斷豐富與完善。

（1）每一種能力都依賴于其他能力而發(fā)展。

三大能力是相互緊密聯(lián)系的，其中每一種能力都依賴于其他能力而發(fā)展。以空間想像能力為例，我國比西方國家更加重視空間想像力的培養(yǎng)。要培養(yǎng)學生的空間想像能力，必須幫助他們探索和認識圖形的性質(zhì)。要探索圖形的度量方面的性質(zhì)，就需要借助于適當?shù)挠嬎銇韺崿F(xiàn)，因而，一定的計算能力就成為發(fā)展空間想像力的重要條件；而要探索圖形的幾何特征性質(zhì)，往往又需要借助于直覺猜想和邏輯推理，因而一定的思維能力就成為必不可少的了。在我國幾何教學中，不少教師既注意發(fā)展學生的空間直覺，也注意通過邏輯推理和度量關系等兩個層面，較為深入地探索圖形的性質(zhì)。同樣，豐富的空間想像能力既可以支持學生用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關計算問題，也有利于學生對圖形性質(zhì)的思考、探索與論證。

（2）“雙基”與“三力”相輔相成?！半p基”所指的是基礎知識和基本技能，而能力的形成是比發(fā)展“雙基”更高層次的教學目標，“雙基”的發(fā)展促進了三大能力的形成，而三大能力的發(fā)展也促進了“雙基”的獲取。我國對知識、技能和能力及其相互關系的認識，也有一個發(fā)展的過程。

1963年《全日制中學數(shù)學教學大綱（草案）》首先提出了基礎知識和三大能力。

1982年《全日制重點中學數(shù)學教學大綱（征求意見稿）》開始注意知識、技能和能力的關系，它指出：“學生的能力是通過知識、技能的掌握而形成和發(fā)展起來的，這些能力一經(jīng)具備，又有助于學生更快地去獲取和運用知識。”

1986年《全日制中學數(shù)學教學大綱》正式把“雙基”與“三力”并列，作為中學數(shù)學教學目標的核心內(nèi)容。大綱指出了在數(shù)學教學中抓“雙基”的要領。該大綱認為“掌握知識、技能和培養(yǎng)能力是密不可分的”。

1986年《全日制初級中學數(shù)學教學大綱》指出：“能力是在知識的教學和技能的訓練過程中，通過有意識地培養(yǎng)而得到發(fā)展的；同時，能力的提高又會加深知識的理解和技能的掌握。”可見上述大綱已經(jīng)對“雙基”與“三力”的關系作了進一步的闡述，并且指出了教師的教學工作在其中的地位。此外，在我國1988年、1992年、1996年、2000年的初、高中教學大綱中，都分別表述了上述觀點。

2．發(fā)揚傳統(tǒng)，與時俱進

與西方國家相比，我國在數(shù)學教學中有關抓“雙基”的教學理念，明確地表述在歷次數(shù)學教學大綱和課程標準中。我國一貫把發(fā)展三大能力作為數(shù)學教學的目標，并且讓學生的三大能力得到協(xié)調(diào)的發(fā)展，這是新中國成立以來形成的數(shù)學教學傳統(tǒng)之一。

1963年《全日制中學數(shù)學教學大綱（草案）》指出：“中學數(shù)學教學目的是……培養(yǎng)學生正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力和空問想像能力，以適應參加生產(chǎn)勞動和升入高等學校學習的需要?！边@是三大能力的首次提出。

1978年《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱（試行草案）》指出：“中學數(shù)學教學目的是：使學生具有正確而迅速的計算能力、一定的邏輯思維能力和一定的空間想像能力，從而逐步培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力?！边@是對三大能力外延的擴展。

1992年《全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試用）》的教學目的中，對三大能力中每一種能力的涵義，都作了較具體而詳細的闡釋。這種闡釋直到2000年《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱（試驗修訂版）》仍然保持下來。

思維能力是指：

①會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括。

②會用歸納、演繹和類比進行推理。

③會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點。

④能運用數(shù)學概念思想和方法，辨明數(shù)學關系，形成良好的思維品質(zhì)。

可見，此時我國已經(jīng)擴大了思維能力的范圍，從過去僅限于邏輯思維，擴展到更廣泛的思維能力和思維品質(zhì)。

運算能力是指：

①會根據(jù)法則和公式正確地進行運算，處理數(shù)據(jù)，并理解算理。

②能夠根據(jù)問題的條件，尋求與設計合理簡捷的運算途徑。

可見，此時對運算能力的要求已經(jīng)超越了過去只要求“迅速正確”的要求，反映了概率統(tǒng)計的教學需要，而且已終初步考慮了算理與算法的思想在計算中的指導作用。

空間想像力是指：

①能夠由實物形狀想像出幾何圖形，由幾何圖形想像出實物形狀。

②能夠想像出幾何圖形的運動變化。

③能夠從復雜的圖形中區(qū)分出基本的圖形，并能分析出其中的基本元素及其基本關系。

④能夠根據(jù)條件作出或畫出圖形；會形象地揭示問題的本質(zhì)。

可見，1996－2000年的歷次大綱對空間想像力作了明確的界定，比過去更加清晰地說明了對培養(yǎng)空問想像力的具體要求。

隨著近、現(xiàn)代數(shù)學部分內(nèi)容引入中學數(shù)學，隨著中學生數(shù)學視野的不斷開闊，我們應該與時俱進地對三大能力予以新的解釋。但是，提出過多的能力，教師不易把握，實際在教學中也不易操作。對待外來的理念，應該采取洋為中用、以我為主的原則。如果國外的理念與我國原有的理念相同或相接近，應該以我國原有的理念為主，并注意吸收國外理念中的合理成分。例如“計算能力”、“空間想像力”是我國的提法，“數(shù)感”、“符號感”、“空間感”是美國的提法，其本質(zhì)是一樣的。美國的提法停留在感知認識階段的描述，我國的提法已經(jīng)是對知識的應用和能力的要求。顯然，我國的提法比美國的提法更加明確具體。在這種情況下，是不是非要用外國的提法不可呢？在中外學術(shù)交流中，堅持我國的民族精神，才能發(fā)揮我國數(shù)學教育在世界上更大的影響力。

二、數(shù)形結(jié)合，博思尋解的傳統(tǒng)

“數(shù)”與“形”是中小學數(shù)學的兩大研究對象。我國數(shù)學教育工作者歷來重視數(shù)形結(jié)合方法的運用。“數(shù)”泛指有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)、函數(shù)以及有關的代數(shù)對象及其相互關系等．是抽象思維的產(chǎn)物；“形”泛指二維與三維幾何圖形、各類函數(shù)圖象等，是形象思維的產(chǎn)物。數(shù)形結(jié)合方法的運用，是我國從20世紀上半葉以來形成的教學傳統(tǒng)。

1．數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系和整體性

我國20世紀30年代的教學大綱已經(jīng)把認識“數(shù)”與“形”的相互關系作為數(shù)學的一個重要目標，從而體現(xiàn)數(shù)學的整體性。

1932年，民國政府制定的《高級中學算學課程標準》就指出：“充分介紹形數(shù)之基本觀念，使學生認識二者之關系，明了代數(shù)幾何各科呼應‘貫之原理，從而確立算學教育之基礎。”

1942年，民國政府制定的《六年制中學數(shù)學課程標準草案》再次指出：“介紹學生形象與數(shù)量之基本觀念，使能了解其性質(zhì)，及二者之關系，并明了運算之理由和法則，及各分科呼應一貫之原理，從而確立普通數(shù)學教育之基礎。”

1951年，新中國首次制定的《中學數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學以講授數(shù)量計算、空間形式及其相互關系的普通知識為主”，“溝通形數(shù)，奠定學習解析數(shù)學的基礎”。

由此可見，新中國的建國之初，我國已經(jīng)把“數(shù)”與“形”及其相互關系作為數(shù)學學習的主要對象，把“溝通形數(shù)”作為數(shù)學課程的基本理念。

2．“數(shù)形結(jié)合”上升為數(shù)學教育的基本要求

1963年《全日制中學數(shù)學教學大綱（草案）》指出，應該重視“數(shù)與形各自的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)與形相互之間的聯(lián)系與區(qū)別”，“把數(shù)和形的研究結(jié)合起來，提高他們綜合應用數(shù)學知識的能力。更有利于學生系統(tǒng)地掌握平面解析幾何的基礎知識，為以后學習高等數(shù)學打下扎實的基礎”。

1986年的教學大綱指出，“使學生初步了解運動變化和形數(shù)結(jié)合的觀點，并初步領會用這些觀點去分析問題的方法”?！巴ㄟ^數(shù)形結(jié)合思想的教學，對學生進行對立統(tǒng)一觀點的教育”。

可見從20世紀60年代起，我國對“數(shù)”與“形”的關系的教學要求，已經(jīng)從“溝通形數(shù)”，認識“相互聯(lián)系”，上升到“數(shù)形結(jié)合”的水平，把“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學教學的基本要求，也作為分析問題的思想方法，這是對我國傳統(tǒng)數(shù)學教學理念的重要發(fā)展。

3．把“數(shù)形結(jié)合”作為解決問題的思想方法

從20世紀90年代起，我國加強了數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的滲透，對“數(shù)形結(jié)合”又有新的理解和闡釋，這種理念在數(shù)學教學大綱中得到反映。

1990年《全日制中學數(shù)學教學大綱》分別指出：“使學生初步了解運動變化和形數(shù)結(jié)合的觀點，并初步領會用這些觀點去分析問題的方法?！保ǔ踔校?/p>

“使學生了解解析幾何的基本思想，初步了解如何用坐標法研究幾何問題，通過數(shù)形結(jié)合思想的教學，對學生進行對立統(tǒng)一觀點的教育?！保ǜ咧校?/p>

1992年和2000年《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試用修訂版）》分別指出：“使學生……理解‘特殊—一般—特殊’、‘未知—已知’、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合和把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題等基本的思想方法?！薄巴ㄟ^函數(shù)的教學，使學生體會事物是相互聯(lián)系和有規(guī)律地變化著的，并向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法?！?/p>

2000年《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試用修訂版）》“在教學內(nèi)容的確定與安排”一段中還指出：“要處理好數(shù)學各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，特別是數(shù)與形的結(jié)合?！?/p>

由上述大綱可見，數(shù)形結(jié)合既被看成數(shù)學教學的理念，也被看成是解決問題基本的思想方法，并應注意把數(shù)學思想方法的教學與辯征唯物主義觀點的形成聯(lián)系起來。

2000年《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱（試用修訂版）》把數(shù)形結(jié)合思想方法予以具體化。例如：“了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系”；“掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義”；“通過函數(shù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)”；“會用二元一次不等式表示平面區(qū)域”；“了解解析幾何的基本思想”；“掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義”；“了解定積分的定義和定積分的幾何意義”，等等。可見在大綱中，數(shù)形結(jié)合思想的運用已經(jīng)反映到具體的數(shù)學教學內(nèi)容中。

2000年美國數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）制定的《學校數(shù)學的原則和標準》中，有一條標準稱為“數(shù)學的聯(lián)系”，其中包括數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系、數(shù)學與日常生活的聯(lián)系及其應用。與美國的這條標準相比較，我國大綱關于“數(shù)形結(jié)合”的提法有如下的優(yōu)越性：

①它扣緊了數(shù)學的兩大對象——“數(shù)”和“形”（我們對數(shù)與形有更廣義的理解）。

②它超越了美國標準中關于“聯(lián)系”的提法，要求把兩者結(jié)合起來，做到以數(shù)論形，以形示數(shù)，相得益彰。

③它既是數(shù)學教學與學習的有效的方法，也是解決問題常用的方法，它還反映了事物的運動變化，反映了它們的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想。

我國數(shù)學教師在數(shù)學教學中，注意鼓勵學生運用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題，創(chuàng)造了許多成功的經(jīng)驗。當前在數(shù)學教學中，數(shù)學思想方法的運用已經(jīng)超越了數(shù)形結(jié)合的范圍，但數(shù)形結(jié)合思想方法仍然是數(shù)學教學常用而有效的方法，它有利于培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點，提高分析問題和解決問題的能力。隨著人們數(shù)學視野的不斷擴大，數(shù)形結(jié)合的含義也在不斷豐富，其他數(shù)學思想方法也得到人們的重視與使用。因此，結(jié)合當前我國數(shù)學教育的實際，數(shù)形結(jié)合思想方法仍然值得弘揚與提倡，它對于學生形成正確的數(shù)學觀，有十分重要的意義。

三、審問慎思，言必有據(jù)的傳統(tǒng)

我國在數(shù)學教學中，比美國更加重視推理論證能力的培養(yǎng)。與美國相比，我國對于推理論證的教學有兩個特點：

1．審問慎思的學習理念

我國數(shù)學推理論證教學有起步早、要求嚴、題量大的特點。從初中一年級開始就對學生進行推理論證的初步訓練，隨著圖形的復雜化，推理論證的難度逐步加大。推理論證能力的培養(yǎng)，符合我國自古以來“審問慎思，言必有據(jù)”的學習理念?？鬃又鲝垺皩W而不思則國，思而不學則殆”（孔子《論語》），宋代教育家朱熹說“讀書無疑須教有疑，有疑者卻要無疑，到這里當是長進”（朱熹《蒙童須知》）。我國不少數(shù)學教師設計生動活潑的問題情境，啟發(fā)學生思考；在新課程所倡導的研究性學習中，鼓勵學生提出問題，解決問題，這些都是對我國傳統(tǒng)學習理念的積極發(fā)展。

2．言必有據(jù)的教學傳統(tǒng)

我國不少數(shù)學教師在幾何入門教學中，要求學生在推理的每一步驟中都說出道理，既加深了學生對數(shù)學概念與命題的理解，復習了有關的知識，也可以逐步領悟邏輯推理的真諦。在幾何教學的處理上，我國和美國各有優(yōu)勢，美國的幾何入門教學比中國早，而中國的論證推理教學比美國早。當前，兩國正在相互學習。我國已經(jīng)把幾何教學的部分內(nèi)容下放到小學，美國在數(shù)學教學中也加強了推理論證的訓練。我國多年數(shù)學教學的實踐證明，初中開始幾何推理的訓練是完全可行的。我國數(shù)學教學重視推理論證的傳統(tǒng)，應該在新時期得以發(fā)揚。對于“審問慎思，言必有據(jù)”的教學傳統(tǒng)，應該予以新的解釋，幾何直覺的形成、數(shù)學猜想的提出，也應該以豐富的圖形經(jīng)驗為基礎，以合情推理為依據(jù)。

四、勤勉拼搏，學而時習的傳統(tǒng)

在數(shù)學教學中，既要設計生動活潑的問題吸引學生的興趣，又要承認學習的艱苦性；既要強調(diào)足夠的練習，又要注意減輕學生的負擔。

1．勤奮拼搏的民族精神

在教學中要培養(yǎng)學生對數(shù)學的正確態(tài)度。我們與美國同行的看法不完全一樣。美國比較看重數(shù)學的趣味性，而我們認為也應該讓學生感受學數(shù)學的艱苦性。學生應該認識到，學習數(shù)學并不總是有趣的，他們常常會遇到嚴峻的挑戰(zhàn)，他們應該具有足夠的信心和勇氣去克服困難。當學生經(jīng)過拼搏，克服困難之后，就能更加體會數(shù)學的美學價值，獲取成功的感受。

為了引導學生認真學習，必須重視教師的指導作用。尊師愛生是我國優(yōu)良的教學傳統(tǒng)。我國學校的班級規(guī)模較大，更應該重視教師在教學中的領導地位，保持必要的紀律和秩序。如果上課時每個人想干什么就干什么，數(shù)學教學就不能有效且有序地進行，學生的學習活動就得不到保證。在觀摩教學中注意到，在美國一些學校，許多教師不敢對學生嚴格要求，疏于對紀律的管理，我們不愿意看到中國出現(xiàn)這種情況。

2．學而時習的求知途徑

在數(shù)學學習中，要注意做適當?shù)木毩?。通過演練，打下堅實的學科基礎，掌握常用的數(shù)學思想方法，靈活運用數(shù)學解決有關問題。對于“學而時習”這句古訓，應該賦予新的含義?！傲暋币馕吨毩?，也意味著實踐，前者表示適當?shù)难菥?，后者表示利用?shù)學知識解決實際問題。綜觀我國近百年來的數(shù)學課程標準（教學大綱）可見，我國從來把演練習題看成是數(shù)學課程的重要組成部分。例如，1951年《中學數(shù)學科課程標準草案》指出了演練習題的意義是“透徹理論，熟練方法，觸類旁通，學以致用”；1963年《全日制中學數(shù)學教學大綱（草案）》指出如何控制練習的分量，該大綱認為“練得少，就不能達到熟練；但是也不宜盲目多練，給學生增加不必要的負擔”；1978年《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱（試行草案）》指出練習與“雙基”的關系，敘述了提高練習質(zhì)量的要領，即由淺入深，逐步提高，組織適當?shù)膹土曨}與綜合題。

20世紀90年代以來，我國數(shù)學課程對練習有了新的闡釋，數(shù)學練習應該包括傳統(tǒng)常規(guī)的問題，也應該有開放性、探索性的問題；有聯(lián)系實際的問題，也有對數(shù)學自身的探索問題。這種趣味性、多樣性和挑戰(zhàn)性的練習，對學生未來的發(fā)展具有重要的意義。專家認為，在強調(diào)開展探索性活動，推進研究性學習的時候應該十分重視基礎知識的學習，重視基本技能的培養(yǎng)?！半p基”是解決問題的基礎，也是探索性活動和研究性學習得以順利進行的一個基本保證。

專家認為，既要保持我國的民族傳統(tǒng)，又要與時俱進地給這些傳統(tǒng)賦予新的含義，從而促使我國數(shù)學教育趕上世界的先進水平。