第二章　期權(quán)定價(jià)的基本概念

本章我將運(yùn)用IBM股票期權(quán)作為標(biāo)的資產(chǎn)樣本解釋期權(quán)概念。表2. 1列示了在芝加哥期權(quán)交易所（CBOE）交易的期權(quán)合約條款。合約允許人們?cè)谀骋粫r(shí)點(diǎn)或到期日之前任意時(shí)間，買入或賣出100股IBM股票。

表2. 1　IBM股票期權(quán)（芝加哥期權(quán)交易所）

在詳細(xì)地解釋期權(quán)價(jià)格之前，必須介紹幾個(gè)重要的概念。三個(gè)基本概念必須明白：盈價(jià)、平價(jià)和虧價(jià)。

盈　價(jià)

如果期權(quán)持有人在標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)上以某一敲定價(jià)格進(jìn)行了交易后產(chǎn)生了現(xiàn)金流入，那么這種期權(quán)被稱為處于盈價(jià)。例如，IBM股票的現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)格是每股70. 5美元，如果以每一份65美元買入了看漲期權(quán)，將會(huì)有現(xiàn)金流入。因而，65美元的期權(quán)被稱做盈價(jià)看漲期權(quán)（見(jiàn)圖2. 1）。在該圖中，縱軸表示標(biāo)的股票價(jià)格，敲定價(jià)格固定在65美元。例如，當(dāng)標(biāo)的股票價(jià)格為70. 5美元時(shí)，看漲期權(quán)被看做處于盈價(jià)。事實(shí)上，當(dāng)市場(chǎng)上任何股票價(jià)格在65美元以上時(shí)，看漲期權(quán)都被稱做處于盈價(jià)。

圖2. 1　65美元IBM股票看漲期權(quán)

平　價(jià)

當(dāng)市場(chǎng)股票的交易價(jià)格與股票的敲定價(jià)格一樣時(shí)，期權(quán)被稱做處于平價(jià)。假如你有一份65美元的IBM看漲期權(quán)，而現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)格是65美元，期權(quán)就是平價(jià)看漲期權(quán)。

虧　價(jià)

當(dāng)以期權(quán)的敲定價(jià)格進(jìn)行交易時(shí)，相應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)上會(huì)產(chǎn)生現(xiàn)金流出，這種期權(quán)被稱為處于虧價(jià)?？疾烀抗晒善钡那枚▋r(jià)格為65美元的IBM看跌期權(quán)，當(dāng)執(zhí)行這一看跌期權(quán)時(shí)，以65美元賣出股票然后以70. 5美元買入股票，每股會(huì)有5美元現(xiàn)金流出。65美元看跌期權(quán)將被稱做處于虧價(jià)（見(jiàn)圖2. 2）。

圖2. 2　65美元IBM股票看跌期權(quán)

期權(quán)價(jià)格的基本組成部分

在這一部分，我將考察最基本的期權(quán)定價(jià)方式。期權(quán)定價(jià)的主要意思是期權(quán)價(jià)格由兩個(gè)組成部分：內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值（見(jiàn)圖2. 3）。

圖2. 3　期權(quán)價(jià)格的主要組成部分

內(nèi)在價(jià)值

內(nèi)在價(jià)值簡(jiǎn)單地說(shuō)就是盈價(jià)數(shù)值。盈價(jià)是指履行期權(quán)合約交易以后的現(xiàn)金流入。假如你擁有以65美元買入IBM看漲期權(quán)的權(quán)利，而IBM股票市價(jià)是65. 5美元時(shí)，你將怎樣處置期權(quán)？如履行期權(quán)合約，結(jié)果是每股會(huì)有0. 5美元的現(xiàn)金流入，它將是盈價(jià)期權(quán)。因?yàn)閮?nèi)在價(jià)值是盈價(jià)數(shù)值，它也就是0. 5美元。假設(shè)IBM股票價(jià)格是65美元，盈價(jià)數(shù)值和內(nèi)在價(jià)值縮減至零（見(jiàn)表2. 2）。

表2. 2　內(nèi)在價(jià)值的計(jì)算

假如IBM股票價(jià)格進(jìn)一步下跌至64美元情況將怎么樣？因?yàn)槠跈?quán)處于虧價(jià)，你將不會(huì)執(zhí)行這樣的看漲期權(quán)，由于虧價(jià)是零，內(nèi)在價(jià)值也是零。所以一份期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值將總是大于或等于零，它從來(lái)不會(huì)是負(fù)的。

看跌期權(quán)是看漲期權(quán)的影像。假如其他人能以65美元賣出期權(quán)時(shí)，你也以這一價(jià)格賣出，這將不會(huì)產(chǎn)生正的現(xiàn)金流入（也就是看跌期權(quán)處于平價(jià)）。

假如標(biāo)的市場(chǎng)價(jià)格下跌至62美元，你能執(zhí)行看跌期權(quán)并以65美元賣出股票。然后，再以62美元每股的價(jià)格從標(biāo)的市場(chǎng)買回股票，這樣每股會(huì)產(chǎn)生3美元現(xiàn)金流入。所以當(dāng)IBM股票價(jià)格是62美元時(shí)，看跌期權(quán)是處于盈價(jià)，內(nèi)在價(jià)值是每股3美元。

時(shí)間價(jià)值的確定

采用很直接的方式就能計(jì)算出期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，但如何確定期權(quán)的時(shí)間價(jià)值呢？它也是容易得到的，就是以實(shí)際期權(quán)價(jià)格減去內(nèi)在價(jià)值。舉一個(gè)時(shí)間價(jià)值的例子。

例如，假定IBM股票價(jià)格是65美元，你能以每股60美元買入看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。60美元看漲期權(quán)的價(jià)格是5. 75美元，60美元看跌期權(quán)價(jià)格是0. 75美元（見(jiàn)表2. 3）?？礉q期權(quán)的盈價(jià)數(shù)值是5美元，因而內(nèi)在價(jià)值也是5美元。當(dāng)看漲期權(quán)以5. 75美元交易時(shí)，看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是0. 75美元。60美元的看跌期權(quán)怎么樣？因?yàn)槭袌?chǎng)價(jià)格高于看跌期權(quán)的敲定價(jià)格，看跌期權(quán)處于虧價(jià)，它的內(nèi)在價(jià)格是零。因?yàn)槊棵涝吹跈?quán)的價(jià)格是0. 75美元，期權(quán)的整個(gè)價(jià)值由時(shí)間價(jià)值組成。

表2. 3　內(nèi)在價(jià)值與時(shí)間價(jià)值

布萊克和斯科爾斯（Black & Scholes）模型

誰(shuí)都清楚，期權(quán)價(jià)格的內(nèi)在價(jià)值只是一種嘗試性的估計(jì)。通過(guò)排除程序，期權(quán)價(jià)格問(wèn)題實(shí)際上是時(shí)間價(jià)值問(wèn)題。費(fèi)雪爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·斯科爾斯（Myron Scholes），芝加哥的兩位教授在1972～1973年解釋了時(shí)間價(jià)值，進(jìn)而在期權(quán)定價(jià)方面做出了突破性的貢獻(xiàn)。^[1]要了解他們解決問(wèn)題的步驟，我需要介紹隨機(jī)控制爭(zhēng)論，這一爭(zhēng)論是他們習(xí)慣于為期權(quán)定價(jià)進(jìn)行定義的邊界。

隨機(jī)控制爭(zhēng)論

隨機(jī)控制條件是指對(duì)有關(guān)不同投資方案相關(guān)利益的描述。隨機(jī)（Stochastic）的意思是可能性或隨意性，它來(lái)自希臘語(yǔ)詞根?！癝tochastikos”意思是目的明確?？刂?，如同它的字面意思一樣，是一種方案在提供給投資者利潤(rùn)方面優(yōu)于另一方案。例如，我們比較兩種投資方案，市場(chǎng)價(jià)是上升、下降或保持不變。當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格上升或下降時(shí)，投資方案1和2提供同樣的清償標(biāo)準(zhǔn)，但當(dāng)市場(chǎng)保持穩(wěn)定時(shí)，方案1提供優(yōu)先清償，那我們說(shuō)方案1隨機(jī)控制優(yōu)于方案2。進(jìn)而，我們說(shuō)方案1的投資價(jià)值大于或等于方案2的價(jià)值。

第一種隨機(jī)控制條件是將期權(quán)價(jià)值與它的內(nèi)在價(jià)值進(jìn)行比較?？紤]到期權(quán)是美式期權(quán)，意味著任何時(shí)間都可以履行期權(quán)合約。期權(quán)價(jià)格必定大于或等于它的內(nèi)在價(jià)值（見(jiàn)圖2. 4）。

圖2. 4　第一方案的邊界條件：與盈價(jià)數(shù)量相關(guān)

假如期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格小于內(nèi)在價(jià)值，期權(quán)購(gòu)買者將在標(biāo)的市場(chǎng)通過(guò)購(gòu)買、交易期權(quán)和回補(bǔ)頭寸立即盈利，并無(wú)風(fēng)險(xiǎn)獲利。例如，當(dāng)標(biāo)的IBM股票以65美元價(jià)格進(jìn)行交易時(shí)，一份60美元的IBM看漲期權(quán)以2美元期權(quán)費(fèi)進(jìn)行交易。然后，期權(quán)購(gòu)買者以2美元買入一份看漲期權(quán)，立即執(zhí)行，即以65美元賣出IBM股票。這一系列交易的結(jié)果是從股票交易中獲得5美元的現(xiàn)金流入（以60美元獲得看漲的IBM多頭股票和以65美元賣出），同時(shí)在期權(quán)購(gòu)買上有2美元現(xiàn)金流出。凈利潤(rùn)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的3美元現(xiàn)金流入。

圖2. 5　第二方案的邊界條件：與平價(jià)數(shù)量相關(guān)

第二種隨機(jī)控制條件是一份期權(quán)至少為0（見(jiàn)圖2. 5）。前面已經(jīng)討論過(guò)，期權(quán)能與保險(xiǎn)政策相比。想像保險(xiǎn)經(jīng)紀(jì)人提供一份保險(xiǎn)給你，在給你免費(fèi)保險(xiǎn)的同時(shí)，也給你現(xiàn)金回報(bào)。當(dāng)然這是一個(gè)負(fù)的保險(xiǎn)價(jià)格，保險(xiǎn)公司是不可能做這種事的。當(dāng)保險(xiǎn)代理人給你一份免費(fèi)日歷表時(shí)，他不會(huì)給你免費(fèi)保險(xiǎn)和付給你錢來(lái)承擔(dān)你的風(fēng)險(xiǎn)。期權(quán)也是如此，假如沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)，想像得到期權(quán)價(jià)格是零，但期權(quán)價(jià)格永遠(yuǎn)不可能是負(fù)的。期權(quán)價(jià)格必定是大于或等于零。

第三種隨機(jī)控制條件是期權(quán)價(jià)格小于或等于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的價(jià)值（見(jiàn)圖2. 6）。

圖2. 6　第三方案的邊界條件：與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)

例如，考察一份六個(gè)月黃金期權(quán)價(jià)值與現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系。黃金永遠(yuǎn)存在而黃金期貨僅僅持續(xù)六個(gè)月。所以，黃金期權(quán)價(jià)值怎么會(huì)超過(guò)黃金本身價(jià)值呢？不可能。期權(quán)價(jià)值將小于或等于標(biāo)的資產(chǎn)本身價(jià)值。

期權(quán)價(jià)值必定是介于內(nèi)在價(jià)值和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值之間的正的非零價(jià)值。這可以見(jiàn)圖2. 7。

圖2. 7　邊界條件：看漲期權(quán)價(jià)格的潛在范圍

布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)

這些隨機(jī)控制爭(zhēng)論為看漲期權(quán)定價(jià)定義了邊界，布萊克和斯科爾斯著手考察看漲期權(quán)定價(jià)的邊界在哪里。為了使事情簡(jiǎn)單化，他們假定看漲期權(quán)是歐式期權(quán)，標(biāo)的市場(chǎng)價(jià)格呈對(duì)數(shù)分布，利率和標(biāo)的資產(chǎn)是持續(xù)變動(dòng)的，資產(chǎn)在到期前不分紅或不分息。這些假設(shè)是關(guān)鍵，不僅僅為了解釋，而且為了“補(bǔ)漏”將在整本書中討論的布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型。

收益的對(duì)數(shù)過(guò)程意味著什么？假定收益率是7%，市場(chǎng)在此上下波動(dòng)。短期內(nèi)收益率是6. 9%或7. 1%的可能性要高于收益率是12%的可能性。假如必須猜測(cè)明天的收益率是多少，我最好猜測(cè)明天的收益率仍保持7%。這是正態(tài)分布的基本假定，也被稱做高斯（Gaussian）曲線，列示在圖2. 8。

圖2. 8　正態(tài)分布

當(dāng)然，因?yàn)槔什荒芟陆档搅阋韵?，但能無(wú)限上升，我們必須調(diào)整正態(tài)分布，把這一點(diǎn)考慮進(jìn)去。要做到這一點(diǎn)，我們簡(jiǎn)單地?cái)U(kuò)展正態(tài)分布曲線，通過(guò)一個(gè)自然對(duì)數(shù)使比率為非零，并保證使其達(dá)到無(wú)限正的能力。布萊克和斯科爾斯假定，資產(chǎn)價(jià)格也符合這一正態(tài)分布模型，也就是價(jià)格不可能在零以下。

由于這幾個(gè)關(guān)于標(biāo)的市場(chǎng)如何操作的假定（這證明遵循物理學(xué)上的幾何布朗運(yùn)動(dòng)），布萊克和斯科爾斯教授提出了一個(gè)偏方差方程來(lái)認(rèn)識(shí)和確定期權(quán)價(jià)值。奇怪的是，他們關(guān)于市場(chǎng)如何運(yùn)作的假定類似于物理學(xué)上粒子的隨機(jī)游走。所以，布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型取得重大突破得益于物理學(xué)上的熱傳導(dǎo)方程。

現(xiàn)在從邏輯上對(duì)熱傳導(dǎo)方程和期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行比較，假設(shè)將一塊金屬放在20攝氏度的房間里，當(dāng)金屬加熱到200度時(shí)開(kāi)始冷卻，金屬中心將保持一段時(shí)間熱度，但在金屬表面冷卻得更快。假如要描繪熱隨時(shí)間衰退過(guò)程，你可以看到它類似于圖2. 9。

圖2. 9　布萊克和斯科爾斯模型“熱傳導(dǎo)方程”

圖形上的金屬衰退預(yù)期與布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)衰退預(yù)期一致。這一突破首次更完備地解釋了歐式看漲期權(quán)定價(jià)。與熱傳導(dǎo)方程相似的期權(quán)理論假定，人們能很簡(jiǎn)單地確定市場(chǎng)波動(dòng)率（“熱量”）和到期時(shí)間，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值也能估計(jì)出來(lái)。一旦加上期權(quán)內(nèi)在價(jià)值，就能確定期權(quán)“公允”價(jià)格。

我們知道了期權(quán)價(jià)格由它的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值組成后，就很容易看懂下面的公式。一份看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值由標(biāo)的股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格之差決定。讀者看到，在方程式中，S是股票價(jià)格，E·e-rT是期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)行價(jià)值。假如期權(quán)價(jià)格僅僅是由內(nèi)在價(jià)值組成（也就是期權(quán)終止時(shí)的情況），運(yùn)用布萊克和斯科爾斯公式，股票價(jià)格和現(xiàn)行執(zhí)行價(jià)格之差S - E·e-rT得出看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。內(nèi)在價(jià)值可在本章后面圖2. 11b看到。讀者應(yīng)注意，執(zhí)行價(jià)格已經(jīng)被折算成現(xiàn)行價(jià)值。^[2]很顯然，在到期日“期貨就是現(xiàn)貨”和內(nèi)在價(jià)值就是S - E。

歐式與美式看漲期權(quán)價(jià)格的比較

要了解美式和歐式看漲期權(quán)價(jià)格的相互關(guān)系，關(guān)鍵是進(jìn)行比較。圖2. 10提供了有關(guān)美式和歐式看漲期權(quán)的最小價(jià)格與它的內(nèi)在價(jià)格之間的隨機(jī)控制爭(zhēng)論。

在這張圖中，因?yàn)闅W式看漲期權(quán)的敲定價(jià)格是由利率（E·e-rT）折算得來(lái)，到右上角頂部的直線是高于美式期權(quán)的直線（它的敲定價(jià)格是不能折算成現(xiàn)行價(jià)值的）。這意味著歐式看漲期權(quán)的價(jià)格必定是大于或等于美式看漲期權(quán)的價(jià)格，并永遠(yuǎn)不會(huì)小于美式看漲期權(quán)的價(jià)值。這是與讀者的直覺(jué)相反的，因?yàn)槊朗狡跈?quán)允許交易者做一些歐式期權(quán)不能做的事情（早期執(zhí)行特點(diǎn)），所以，美式期權(quán)價(jià)值應(yīng)該更大。圖2. 10應(yīng)該顯示的不是這種情況。對(duì)這明顯不合理的假設(shè)，如何解釋呢？

圖2. 10　第一邊界條件：美式對(duì)歐式

為解決方程式的偏相關(guān)問(wèn)題，布萊克和斯科爾斯不得不提出一些有點(diǎn)麻煩的假設(shè)。因?yàn)榇蟛糠制跈?quán)有美式期權(quán)執(zhí)行特點(diǎn)（包括IBM股票期權(quán)），而布萊克和斯科爾斯模式僅僅是適用于歐式期權(quán)，這真是一個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題嗎？答案是“不一定”。要回答這一問(wèn)題，最好舉一個(gè)類似的例子。你知道將有多少人會(huì)將已經(jīng)裝入口袋的100美元拿出來(lái)扔到地上后走開(kāi)？我敢肯定不會(huì)有很多人選擇這樣行動(dòng)。我們考慮歐式期權(quán)和美式期權(quán)的理論差異，因?yàn)橛妹朗狡跈?quán)（如你有更早執(zhí)行的選擇）做一些用歐式期權(quán)不能做的事，美式期權(quán)是更有價(jià)值的。然而，考慮到當(dāng)一個(gè)人履行期權(quán)合約時(shí)，另一個(gè)人收到期權(quán)。人們將會(huì)以期權(quán)敲定價(jià)格在標(biāo)的市場(chǎng)設(shè)定一個(gè)頭寸。僅僅當(dāng)期權(quán)處于盈價(jià)時(shí)，持有人才會(huì)選擇執(zhí)行。當(dāng)他履行期權(quán)合約交易時(shí)，期權(quán)“消失”了，取而代之的是標(biāo)的市場(chǎng)的一份頭寸。他收到的資金數(shù)等于敲定價(jià)格減去先前的標(biāo)的價(jià)格。讀者很自然地想到，它等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。然而在到期日之前，期權(quán)的價(jià)值中應(yīng)包含時(shí)間價(jià)值。在最終到期日履行期權(quán)合約時(shí)，期權(quán)不再具有時(shí)間價(jià)值，它等于從你口袋里拿出100美元然后拋掉它。假如某人要對(duì)沖而不是履行期權(quán)合約，人們能將賣出期權(quán)買回來(lái)，這樣他會(huì)得到至少比他所預(yù)期的多。假如你將賣出期權(quán)買回來(lái)，因?yàn)槊朗狡跈?quán)是提早執(zhí)行也不能增加價(jià)值，所以對(duì)于幾乎所有的資產(chǎn)，提早執(zhí)行不能增加看漲期權(quán)的價(jià)值。^[3]這也解釋了為什么大部分人選擇對(duì)沖而不是履行期權(quán)合約（至此我完成了第一章描述時(shí)所做的許諾）。

從布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型中如何估計(jì)時(shí)間價(jià)值

運(yùn)用排除法，布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型的時(shí)間價(jià)值由公式中的N（d1）和N（d2）決定。N因子是以現(xiàn)行價(jià)格S和折算后的執(zhí)行價(jià)格E·e-rT為中心的股票價(jià)格的累計(jì)正態(tài)分布。因子d1和d2應(yīng)用在上面的自然對(duì)數(shù)中得出，并由它們決定這些分布多寬。讓我們運(yùn)用邏輯推理，看漲期權(quán)買入方的兩種資源價(jià)值是：

（1）當(dāng)股票價(jià)格S是在E上面時(shí)，有一個(gè)無(wú)限的潛在獲利。

（2）當(dāng)股票價(jià)格S是在E下面時(shí)，有一個(gè)有限的潛在損失。

很清楚，當(dāng)一個(gè)人利用期權(quán)在市場(chǎng)上“賭一把”時(shí)，他是相信期權(quán)到期時(shí)他可能獲利。對(duì)于任何資產(chǎn)，投資者愿意為期權(quán)付出的是未來(lái)潛在利潤(rùn)的現(xiàn)值。要評(píng)估標(biāo)的股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的可能性，要用到一些工具。布萊克和斯科爾斯假定這一過(guò)程是對(duì)股票的收益（和一個(gè)對(duì)數(shù)的分配）的一個(gè)正態(tài)分布過(guò)程。這就是正態(tài)分布選擇作為本書第四章要廣泛討論的原因。^[4]

假如將上述情況寫成一個(gè)更正規(guī)的方程式，結(jié)果是：

我們對(duì)這一方程式關(guān)心的是，最終股票價(jià)格ST大于敲定價(jià)格的概率。這一預(yù)期價(jià)值依賴于給定現(xiàn)行股票價(jià)格情況下最終的股票價(jià)格漲至股票敲定價(jià)格的概率。然后，這一價(jià)值被折算成現(xiàn)行價(jià)值。

布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型主要討論股票價(jià)格S上升至股票敲定價(jià)格E之上的可能概率。期權(quán)價(jià)值是惟一基于這一預(yù)期清償?shù)默F(xiàn)值。不用懷疑，這一方法是正確的，但此時(shí)我被布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式迷惑了。假如我們僅僅關(guān)心股票價(jià)格上升到N（d1）的可能性，那為什么另一個(gè)正態(tài)分布N（d2）乘以執(zhí)行價(jià)格E，又出現(xiàn)在公式里？執(zhí)行價(jià)格E不是固定的嗎？答案是肯定的。為什么模型有另一個(gè)正態(tài)分布N（d2）與之相關(guān)聯(lián)？有兩種解釋：一種解釋是數(shù)學(xué)原因；另一種解釋是憑直覺(jué)。

數(shù)學(xué)答案：它顯示出要解出布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)方程式，人們必須估計(jì)股票價(jià)格上升到執(zhí)行價(jià)格E的可能性。也就是，人們須自問(wèn)的是，股票價(jià)格上升至股票敲定價(jià)格之上和股票價(jià)格保持在敲定價(jià)格之下的可能的概率分別是多少。^[5]尋找看漲期權(quán)價(jià)格公式，需要的范圍從執(zhí)行價(jià)格E到正的無(wú)限（∞）相吻合的正態(tài)分布曲線。為什么是無(wú)限？因?yàn)闈撛诶麧?rùn)是無(wú)限的。我們?cè)噲D去解決的是：

當(dāng)這一問(wèn)題解決時(shí)，結(jié)果是：

EV（ST│St＞E）= St·erT·N（d1）/ N（d2）

將這一結(jié)果輸入前面得出的方程式，假定p = N（d2），我們得到：

用上一結(jié)果相乘后，結(jié)果得布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式：

C = St·N（d1）- E·N（d2）·e-rT

應(yīng)用兩種方式完成了數(shù)學(xué)推理。

運(yùn)用同樣的方法，我們必須回顧看漲期權(quán)價(jià)值的兩種基本來(lái)源，包括無(wú)限潛在利潤(rùn)在敲定價(jià)格E之上和虧損在敲定價(jià)格E之下。當(dāng)然這種方法有些非正統(tǒng)，但我的方法使交易者確定了兩種期權(quán)因子的價(jià)值。

讓我們?cè)僖淮位氐缴鲜龉?。公式告訴我們，我們必須考慮以現(xiàn)行股票價(jià)格St和執(zhí)行價(jià)格E為中心的這些分布的差異。圖2. 11a描繪了這兩個(gè)彼此相對(duì)的鐘狀分布圖。股價(jià)上升至敲定價(jià)格E上的概率是在N（d1）曲線領(lǐng)域，即在敲定價(jià)格之上。讀者可從分布圖的右邊陰影部分看到。另外，在現(xiàn)行股票價(jià)格之下的N（d2）概率分布面積也被描成陰影。期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是指兩種概率的總和。第一種概率是指股票價(jià)格上升至敲定價(jià)格之上；第二種概率是相對(duì)于敲定價(jià)格E，股票價(jià)格將進(jìn)一步下跌的可能性。第一種概率是期權(quán)的無(wú)限潛在獲利價(jià)值，第二種概率是相對(duì)于股票上持有一份頭寸的期權(quán)有限損失。與這兩種鐘狀分布相聯(lián)系的概率總和是尖頂區(qū)域，這就是期權(quán)的時(shí)間價(jià)值。

圖2. 11a　各種股價(jià)水平上的分布交叉面

當(dāng)股票價(jià)格上升或下降時(shí)，時(shí)間價(jià)值將會(huì)發(fā)生怎樣的變動(dòng)呢？因?yàn)閳?zhí)行價(jià)格是固定的，僅僅股票價(jià)格的分布會(huì)發(fā)生變動(dòng)。當(dāng)S上升時(shí)，兩種分布的頂部也上升。聰慧的讀者可看到隨著股票價(jià)格上升至右邊，兩邊分布的概率總和也將上升。當(dāng)股票價(jià)格等于已折算的執(zhí)行價(jià)格時(shí)，分布圖是處于兩邊的頂部呈對(duì)稱狀，此時(shí)合作概率的總數(shù)處于最高水平。假如股票價(jià)格繼續(xù)上升到已折算的執(zhí)行價(jià)格之上，合作概率的總數(shù)被看做是那里的交叉面積。讀者能看到這總的面積將開(kāi)始減少（見(jiàn)圖2. 11a）。因?yàn)槠跈?quán)的時(shí)間價(jià)值是無(wú)限利潤(rùn)的總合作概率和有限的潛在損失之和，時(shí)間價(jià)值與在兩邊曲線下的總面積成正比。在期權(quán)處于平價(jià)時(shí)，合作概率的總面積最大，然而此時(shí)期權(quán)的時(shí)間價(jià)值最大。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格離期權(quán)的敲定價(jià)格越遠(yuǎn)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值越低。

在這個(gè)簡(jiǎn)單的分析中，有一種情況是不清楚的：與期權(quán)處于盈價(jià)相比，當(dāng)期權(quán)是虧價(jià)或平價(jià)時(shí)，概率的差異更明顯。相對(duì)整個(gè)區(qū)域而言，為什么交叉面積分布在兩邊？這是因?yàn)槠跈?quán)現(xiàn)在處于盈價(jià)。利用前面的定義，當(dāng)期權(quán)處于盈價(jià)時(shí)，在曲線兩邊下的概率即總面積可能更大。但是假如這種情況是經(jīng)常發(fā)生的，期權(quán)價(jià)格將高于它的內(nèi)在價(jià)值，這意味著期權(quán)價(jià)格達(dá)到這一敲定價(jià)格的概率在50%以上。當(dāng)發(fā)生這種情況時(shí)，只需用整個(gè)期權(quán)價(jià)格扣除時(shí)間價(jià)值，此時(shí)我們必須確定分布數(shù)值，它位于現(xiàn)行概率和100%之間。因此我們回過(guò)頭來(lái)分析這一點(diǎn)。

因?yàn)槠跈?quán)處于盈價(jià)的概率為70%，任何一種期權(quán)的時(shí)間價(jià)值的概率將為30%，標(biāo)的市場(chǎng)價(jià)格將進(jìn)一步上升（或下降到期權(quán)的敲定價(jià)格之下）。所以，當(dāng)期權(quán)處于盈價(jià)時(shí)，公共面積是合作概率區(qū)域，這是很有趣的。

總之，布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式隱含著這樣一層意思，即內(nèi)在價(jià)值等于股票價(jià)格和敲定價(jià)格之差，時(shí)間價(jià)值等于在股票價(jià)格概率分布上的現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格之差。

就看漲期權(quán)的總價(jià)值面1/2，要顯示時(shí)間價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值的相對(duì)分布，已經(jīng)畫出圖2. 11b，它是圖2. 11a的擴(kuò)展。它顯示出看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值超過(guò)平?？赡艿墓善眱r(jià)格的連續(xù)范圍。

圖2. 11b　IBM看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值

讀者能很清楚地看到，先前描述的當(dāng)期權(quán)處于平價(jià)時(shí)（S = E·e-rT），最大時(shí)間價(jià)值的點(diǎn)狀圖。當(dāng)股票價(jià)格低于或高于敲定價(jià)格時(shí)，由于前已述及的原因，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值將下降。最終在標(biāo)的股票價(jià)格某一水平上，期權(quán)時(shí)間價(jià)值將接近0，期權(quán)將既不盈也不虧。

圖2. 12　3 -6 -9月看漲期權(quán)

再則，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值取決于使用的市場(chǎng)價(jià)格和折算的敲定價(jià)格，這可從圖2. 11b右邊部分得到解釋。時(shí)間價(jià)值因素取決于波動(dòng)率、到期時(shí)間、正態(tài)分布函數(shù)。圖2. 12顯示，由布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式可計(jì)算出看漲期權(quán)的價(jià)格。在這張圖中，內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值是合在一起的。所以，假如讀者在圖2. 11b上并入兩張圖，他將獲得圖2. 12同樣的結(jié)果。

在加入時(shí)間價(jià)值后，期權(quán)費(fèi)和標(biāo)的價(jià)格之間表現(xiàn)出一條平滑曲線的關(guān)系。早于到期日之前，通過(guò)這個(gè)曲線可以定義看漲期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)的關(guān)系，而不需要采用在這一點(diǎn)上我已介紹的“曲棍球狀”的利潤(rùn)/損失圖。讀者注意到，離到期日越長(zhǎng)，期權(quán)價(jià)格更高，而且曲線更直。僅僅當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，時(shí)間價(jià)值為0，這時(shí)看漲期權(quán)的利潤(rùn)/損失圖就像“曲棍球狀”，期權(quán)的價(jià)格僅僅由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和敲定價(jià)格決定。

遵循上述同樣的邏輯，看跌期權(quán)的價(jià)值也由兩部分組成，即內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值。^[6]看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值即是它的盈價(jià)數(shù)值，也就是敲定價(jià)格減去現(xiàn)行標(biāo)的價(jià)格（假如數(shù)量是正的），或者是零。同樣，時(shí)間價(jià)值等于以期權(quán)的敲定價(jià)格和折算的執(zhí)行價(jià)格為中心分布的概率的總和。

因?yàn)殛P(guān)于資產(chǎn)價(jià)格收益的正態(tài)分布過(guò)程的假定似乎是不清楚的，第四章將詳細(xì)解釋為什么這種假定仍然是合理的。或許布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式的其他假定更不合理：波動(dòng)率和利率在整個(gè)有效時(shí)期內(nèi)都是常數(shù)，現(xiàn)金流量（如紅利導(dǎo)致的現(xiàn)金流量）不與標(biāo)的資產(chǎn)整個(gè)生命周期相聯(lián)系。假如標(biāo)的資產(chǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)是固定的，期權(quán)點(diǎn)在哪里？將不存在這樣的點(diǎn)。理論上說(shuō)，幾乎所有股票在付出紅利（債券付出息票）后，股票價(jià)格將會(huì)下跌，然而這與實(shí)際情況不相符，實(shí)際上這正是該公式存在的嚴(yán)重缺陷。因此，我將在本書后面解釋這些問(wèn)題，并告訴讀者應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行調(diào)整以便適應(yīng)具體情況。所以，如果要估計(jì)期權(quán)的“公允”價(jià)格，布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式仍是一種好的工具。實(shí)際上，布萊克和斯科爾斯依賴這些假定對(duì)某點(diǎn)期權(quán)的即時(shí)價(jià)格予以反映。在估計(jì)時(shí)，布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式和尼康相機(jī)一樣精確。它將給出一個(gè)當(dāng)時(shí)情況的“客觀”影像。當(dāng)然假如風(fēng)景改變，你已照的相也就不再能精確反映當(dāng)時(shí)的現(xiàn)實(shí)。使用布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式時(shí)，當(dāng)風(fēng)景改變時(shí)，人們必須重照?qǐng)D像，且每一次發(fā)生變化時(shí)都應(yīng)這樣做。這是否意味著因?yàn)樗鼣z下的風(fēng)景改變了就認(rèn)定尼康相機(jī)不好？當(dāng)然不是。同樣地，也并不意味著布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式無(wú)效，因?yàn)楣郊俣?biāo)的市場(chǎng)條件將保持不變。記住，布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式是作為一個(gè)“模型”而不是作為布萊克和斯科爾斯“現(xiàn)實(shí)”。

現(xiàn)在不再談模型的假定，我將詳細(xì)考察確定布萊克和斯科爾斯期權(quán)價(jià)格的變量。在隨后的章節(jié)中，我將討論理論期權(quán)定價(jià)模型的實(shí)際應(yīng)用和如何解釋這些假定?？傊?，確定期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的兩個(gè)因子是敲定價(jià)格和標(biāo)的價(jià)格（對(duì)于期權(quán)的生命期通過(guò)利率折算）。用來(lái)估計(jì)期權(quán)時(shí)間價(jià)值的因子包括終止期和預(yù)期的波動(dòng)率。

利用布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)時(shí)間價(jià)值的關(guān)鍵因子

假如人們要詳細(xì)了解布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式，需要對(duì)時(shí)間價(jià)值的估計(jì)進(jìn)行精確解釋。關(guān)鍵點(diǎn)是d1和d2因子的估計(jì)，將它們輸入正態(tài)分布函數(shù)，運(yùn)算結(jié)果會(huì)是一個(gè)概率數(shù)值，它由現(xiàn)行股票價(jià)格乘上已折算的執(zhí)行價(jià)格得出。這個(gè)數(shù)值之差是期權(quán)的價(jià)格。假如d1和d2因子是一致的，從正態(tài)分布公式得到的結(jié)果將是同樣的數(shù)值。這個(gè)常數(shù)意味著期權(quán)的價(jià)格類似于S = E·e-rT，是一個(gè)常數(shù)。在正態(tài)分布函數(shù)的結(jié)果是1的情況下，期權(quán)的價(jià)值將被簡(jiǎn)單地折算成內(nèi)在價(jià)值。假如結(jié)果是0，期權(quán)價(jià)值也是0。這是期權(quán)到期時(shí)的結(jié)果。期權(quán)價(jià)值將是它的正的內(nèi)在價(jià)值或0。然而，這兩個(gè)因子d1和d2不是一致的。它們的差異為：

這些因子和決定期權(quán)時(shí)間價(jià)值因子之間的惟一差異如下：

這一因子確定了波動(dòng)率和時(shí)間對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。我考察的第一個(gè)變量是時(shí)間。

時(shí)間對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

時(shí)間如何影響期權(quán)的時(shí)間價(jià)值？我們?cè)俅芜\(yùn)用保險(xiǎn)的例子來(lái)尋找答案。假如我們將一年和兩年的保險(xiǎn)政策進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)從考察日的下一日開(kāi)始，我們預(yù)期保險(xiǎn)費(fèi)用將不一樣。保期越長(zhǎng)，保險(xiǎn)費(fèi)用將越高。我們現(xiàn)在可以推知，因?yàn)槠跈?quán)類似于保險(xiǎn)，所以離到期時(shí)間越長(zhǎng)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值越大。然而，人們從上面公式可以看到，時(shí)間價(jià)值不是時(shí)間的線性函數(shù)。時(shí)間的影響是到期時(shí)間的平方根的函數(shù)。從這一現(xiàn)實(shí)出發(fā)，人們可以得出結(jié)論，純粹從時(shí)間衰退方面看，存在一個(gè)最適宜的買入期權(quán)的時(shí)間點(diǎn)，也存在一個(gè)最適宜的賣出時(shí)間點(diǎn)。

例如，假設(shè)你有兩種選擇方案購(gòu)買125天的期權(quán)，圖2. 13a和2. 13b描述了兩種潛在策略的時(shí)間衰退方式。

圖2．13a　期權(quán)價(jià)格受時(shí)間衰減的影響

圖2. 13b　期權(quán)價(jià)格受時(shí)間衰減的影響

第一種選擇是用6美元買入離到期日還有125天的IBM看漲平價(jià)期權(quán)，并持有它一直到終止日，由于是自然到期，時(shí)間價(jià)值是0。因?yàn)?25天保證期花費(fèi)的是6美元，由于每股IBM期權(quán)合約是6美元，總成本是100股代表600美元的付出。這能在圖2. 13a中頂端看到。第二種方案是買入離到期還剩250天的平價(jià)期權(quán)，成本是8. 5美元。在125天后不再需要期權(quán)時(shí)，你可以通過(guò)賣出期權(quán)來(lái)對(duì)沖。假如你以6美元賣出，你的總成本僅僅是2. 5美元。這能在圖2. 13b中底部看到。

對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，最大問(wèn)題是他們認(rèn)為，必須買入的期權(quán)費(fèi)太高了。假如你以6美元的期權(quán)費(fèi)買入一份期權(quán)并一直持有它們直至變得一錢不值的到期日，確實(shí)期權(quán)費(fèi)太高了。然而，假如你以8. 5美元買入期權(quán)并以6美元賣出，然后預(yù)期成本僅僅是2. 5美元，^[7]情況怎么樣？考慮從一個(gè)時(shí)間逐漸衰退點(diǎn)買入期權(quán)，此時(shí)離到期日還有一長(zhǎng)段時(shí)間。應(yīng)當(dāng)選擇在離到期只有一段短的時(shí)間時(shí)賣出期權(quán)。假如人們知道這一道理，但為什么仍然有人會(huì)在期權(quán)就要到期時(shí)買入它呢？這特別令人費(fèi)解。在匯市上，大部分期權(quán)交易活動(dòng)集中在期權(quán)就要到期時(shí)成交。明顯地，這意味著許多人是在一個(gè)時(shí)間段，即最大的時(shí)間衰退率發(fā)生時(shí)買入期權(quán)。

要明白為什么人們選擇期權(quán)就要到期時(shí)買入期權(quán)，必須考慮我前面已經(jīng)介紹過(guò)的一個(gè)因子：桿杠因子。通過(guò)考察期權(quán)生命時(shí)期內(nèi)最大交易活動(dòng)發(fā)生情況，我們能得出有趣的結(jié)論：是誰(shuí)正在買入期權(quán)和為什么買入。假定在市場(chǎng)上有三種投資者：套利者、做市者和投機(jī)者。套利者關(guān)心的是減少自己的風(fēng)險(xiǎn)和買入期權(quán)時(shí)他預(yù)期的套利的凈成本更低。所以，套利者喜歡買入還有較長(zhǎng)時(shí)間到期的期權(quán)，并在到期日之前賣出它們以便降低期權(quán)預(yù)期成本。大部分經(jīng)濟(jì)學(xué)家把套利者歸入“風(fēng)險(xiǎn)厭惡者”之列。在買入或賣出期權(quán)方面，做市者是風(fēng)險(xiǎn)中性者，因?yàn)楫?dāng)尋找到有人也要買入或賣出期權(quán)時(shí)，做市者將會(huì)賣出持有的頭寸。所以，做市者可以歸入不理會(huì)期權(quán)的時(shí)間衰退的“風(fēng)險(xiǎn)中性”者之列。另一方面，投機(jī)者要快速獲利，所以他感興趣的是桿杠效應(yīng)（收益百分比），因而他是“風(fēng)險(xiǎn)尋找者”。因?yàn)檫@些人有風(fēng)險(xiǎn)偏好，因而他們的目的是盡可能使桿杠數(shù)值最大化。圖2. 14顯示當(dāng)期權(quán)就要到到期日時(shí)，桿杠數(shù)值最大。在這張圖上，桿杠被稱為標(biāo)的市場(chǎng)上一個(gè)定期變動(dòng)平價(jià)期權(quán)的利潤(rùn)百分率。在圖2. 14中，假定有一份IBM平價(jià)看漲期權(quán)，在先于到期日之前，以每5美元股票價(jià)格的變動(dòng)得出各點(diǎn)的利潤(rùn)百分比。將桿杠與期權(quán)的時(shí)間價(jià)值進(jìn)行對(duì)比，在圖2. 14右邊以對(duì)數(shù)形式畫出收益百分比，圖的左邊是期權(quán)的時(shí)間價(jià)值。讀者能明白，離到期時(shí)間越遠(yuǎn)，期權(quán)成本越大，桿杠收益越低。然而假定人們買入一份離到期還有很遠(yuǎn)的期權(quán)，時(shí)間衰退的影響將會(huì)變?nèi)酢Ｌ桌?，由于常有更多資本進(jìn)行操作，會(huì)使他們期權(quán)費(fèi)的凈成本更低。他們可以通過(guò)買入更多的原始期權(quán)做到這一點(diǎn)，然后在嚴(yán)重的時(shí)間衰退開(kāi)始之前對(duì)沖（圖2. 13b能證實(shí)這一點(diǎn)）。

圖2. 14　時(shí)間價(jià)值與杠桿

為什么投機(jī)者喜歡買入就要到期的廉價(jià)期權(quán)呢？假定有一投機(jī)者花費(fèi)8美元購(gòu)買離到期還有200天的期權(quán)，或購(gòu)買離到期日只剩下一星期的期權(quán)（成本僅僅是0. 25美元），若標(biāo)的股票價(jià)格上升5美元，標(biāo)的股票價(jià)格離到期日長(zhǎng)的股票價(jià)值將從8美元增加到10. 5美元。在期權(quán)費(fèi)的投資上，收益率是31%?，F(xiàn)在，考慮離到期很短的期權(quán)，以0. 25美元購(gòu)入。當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格上升5美元時(shí)，期權(quán)價(jià)值也將增長(zhǎng)到5美元，收益率是2000%。結(jié)果，杠桿與時(shí)間相關(guān)，杠桿曲線的形狀是時(shí)間衰退曲線的反射影像。

當(dāng)然，這種杠桿可能導(dǎo)致不審慎的暫時(shí)失控?；诖耍S多交易所對(duì)臨近到期的交易一般會(huì)采取嚴(yán)格的管制。不審慎的投機(jī)者會(huì)采用更靠近前一段市場(chǎng)價(jià)格的敲定價(jià)格購(gòu)買期權(quán)，以便獲得巨大的百分比收益。假如市場(chǎng)發(fā)生急劇變動(dòng)，收益率常常超過(guò)100%。例如，離到期只有一天的期權(quán)，當(dāng)某種股票價(jià)格是64. 75美元時(shí)，一些人為了賺取0. 25美元收入而以65美元買入IBM股票。假如在下一天IBM的價(jià)格碰巧上升到65. 5美元，持有者將履行期權(quán)合約，賣出股票并每股獲利0. 25美元。在資本投資上這是一天內(nèi)獲取100%收益。所以臨近到期日，存在一個(gè)激勵(lì)控制標(biāo)的市場(chǎng)，期權(quán)的敲定價(jià)格變化決定市場(chǎng)價(jià)格。因?yàn)楹芨叩母軛U，在離到期日只有一星期時(shí)，存在一個(gè)只承擔(dān)有限損失的賭博機(jī)會(huì)，許多期權(quán)操作者稱這一時(shí)期為“抽彩期”。

對(duì)數(shù)分布的影響

讀者知道布萊克和斯科爾斯模型假定市場(chǎng)呈現(xiàn)出一個(gè)對(duì)數(shù)分布狀態(tài)。要了解這一涵義，采用輪盤賭的游戲方式解釋時(shí)間價(jià)值的特點(diǎn)是一種好的方式。

在美國(guó)假定有38個(gè)號(hào)碼在輪盤賭輪子上。這些號(hào)碼從1到36，賭博者如果賭中這36個(gè)號(hào)碼中的一個(gè)，將相應(yīng)付給一定報(bào)酬，如果賭中0和00，他將什么都得不到。這一目的是通過(guò)賭一個(gè)特定的號(hào)碼贏利，放置在槽中的每一只球代表某一特定號(hào)碼。假如轉(zhuǎn)動(dòng)的球停下后停在你賭的相應(yīng)號(hào)碼上，你贏。下注一個(gè)美元在某一號(hào)碼上，贏35美元的盈利的概率是1/38，這一盈利率是很高的，但是賭中你的號(hào)碼的概率是很低的。

要確保在輪盤賭中獲利，最好的辦法是下注在提供的36個(gè)號(hào)碼中的每一個(gè)。在這種策略中，贏利數(shù)量和贏的概率都是高的（概率為97. 74%）。然而，最后結(jié)果總是虧損的，因?yàn)檫@一賭的策略成本超過(guò)潛在的35美元盈利。當(dāng)然，在大部分時(shí)間里，如能在輪子上觀察到一個(gè)特別的超出常規(guī)的規(guī)律，投機(jī)者會(huì)設(shè)計(jì)一種策略來(lái)贏得超額利潤(rùn)?；旧希罡哳A(yù)期回報(bào)策略是將賭注押在經(jīng)觀察中簽概率大的號(hào)碼上面。

因?yàn)椴既R克和斯科爾斯假定市場(chǎng)是按對(duì)數(shù)分布的（在一個(gè)公正的輪盤賭輪上是統(tǒng)一分布），最高概率事件是現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)格，它是猜測(cè)后面市場(chǎng)價(jià)格的最好結(jié)果。然而，平價(jià)期權(quán)“賭”有最高的概率，結(jié)果有最高的時(shí)間價(jià)值。當(dāng)期權(quán)完全處于虧價(jià)時(shí)，期權(quán)是多頭點(diǎn)和便宜的；而期權(quán)處于完全盈價(jià)時(shí)，它將是很貴的。這一策略類似于將賭注下在輪盤賭的每一個(gè)號(hào)碼上。因?yàn)橛懈叩钠跈?quán)費(fèi)，人們將獲取的杠桿利潤(rùn)和潛在利潤(rùn)更少。所以，從獲取凈利的角度看，期權(quán)處于虧價(jià)和完全盈價(jià)時(shí)，期權(quán)的預(yù)期利潤(rùn)是最低。平價(jià)期權(quán)將有可能獲取最大的潛在利潤(rùn)。預(yù)期收益（中簽概率乘收益減去賭注成本）類似于圖2. 8鐘狀一樣的曲線。

波動(dòng)率影響期權(quán)價(jià)格

影響時(shí)間價(jià)值的其他主要因子是波動(dòng)率。迄今為止，在影響期權(quán)費(fèi)的時(shí)間價(jià)值上，波動(dòng)率是最重要的變量。購(gòu)買健康保險(xiǎn)時(shí)，健康的人所付出的保費(fèi)肯定少于患有不治之癥的人付出的保費(fèi)。假如某人得了嚴(yán)重的疾病，因?yàn)榇藭r(shí)可察覺(jué)的風(fēng)險(xiǎn)（清償?shù)母怕剩└?，因而需付出更多的保費(fèi)。

然而，某人健康時(shí)候已經(jīng)買入保險(xiǎn)，然后才發(fā)現(xiàn)患有一種嚴(yán)重疾病。如果此時(shí)該人要求退出健康保險(xiǎn)，且保險(xiǎn)代理對(duì)此也十分焦慮并希望盡快清償自己的義務(wù)，患者將能夠從保險(xiǎn)公司那里得到比其原先所付出的投保金多得多的退保金。假如該人確已這樣做，事實(shí)上由于可察覺(jué)風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)改變，他將能獲取實(shí)際的利潤(rùn)。^[8]假設(shè)該先生退出健康保險(xiǎn)以后，由于醫(yī)生誤診，此人實(shí)際未得絕癥，此時(shí)他可以到另一家保險(xiǎn)公司以較低的保費(fèi)重新投保。他能夠在低風(fēng)險(xiǎn)時(shí)買入，高風(fēng)險(xiǎn)時(shí)賣出，再在低風(fēng)險(xiǎn)時(shí)買入，在這一循環(huán)過(guò)程中獲利。雖然他的基本健康狀況未變，但對(duì)健康狀況是否存在風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)改變。

了解波動(dòng)率的關(guān)鍵是應(yīng)知道風(fēng)險(xiǎn)越大，期權(quán)費(fèi)越高。因而，在期權(quán)市場(chǎng)，風(fēng)險(xiǎn)是由一個(gè)眾所周知的波動(dòng)率概念來(lái)計(jì)量的。標(biāo)的市場(chǎng)波動(dòng)率越大，風(fēng)險(xiǎn)也越大。市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)越大，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值也越高。從上面關(guān)鍵因子波動(dòng)率參數(shù)變動(dòng)看與其對(duì)期權(quán)的影響完全成比例。越高的波動(dòng)率σ，因子d1和d2之間存在越大的差異并具有越高的期權(quán)時(shí)間價(jià)值。

如何計(jì)量波動(dòng)率

在期權(quán)理論中，波動(dòng)率是如此重要的一個(gè)概念，以至于我將在本書中用完整的兩章對(duì)它進(jìn)行闡述（見(jiàn)第四章和第五章）。然而，在這里我將介紹波動(dòng)率的基本種類和如何用布萊克和斯科爾斯模型計(jì)量它。波動(dòng)率主要有三種計(jì)量方式：歷史波動(dòng)率、隱含波動(dòng)率和預(yù)期波動(dòng)率。

歷史波動(dòng)率

歷史波動(dòng)率由標(biāo)的市場(chǎng)過(guò)去一段時(shí)間的實(shí)際偏差數(shù)來(lái)計(jì)量。舉一個(gè)例子，假定昨天IBM股價(jià)是66美元、大前天是65. 5美元，現(xiàn)在以65. 75美元進(jìn)行交易。這些數(shù)字之間的差異顯示出，昨天標(biāo)的市場(chǎng)上每股獲利0. 5美元而今天每股損失0. 25美元。因?yàn)榘俜直缺阌诒容^，我將把數(shù)字轉(zhuǎn)換成百分比，以便搞清楚上述情況。有時(shí)股價(jià)將可能增長(zhǎng)0. 1%，有時(shí)股價(jià)將降低0. 1%。然而，在一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)的世界上，平均收益百分比將可能性是0，分布狀況類似于圖2. 8看到的一個(gè)“鐘狀”的正態(tài)分布曲線。

如果把已經(jīng)發(fā)生在市場(chǎng)上的過(guò)去30天交易的分布情況上下移動(dòng)，可以看到，在大部分市場(chǎng)上，將得出一條已經(jīng)在前面討論過(guò)的正態(tài)曲線。正態(tài)曲線的優(yōu)點(diǎn)是他們能完全地描述交易情況，并通過(guò)兩組數(shù)字了解交易：平均數(shù)（或中位數(shù)）和波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）。當(dāng)平均變動(dòng)是0時(shí)，我們必須注意的惟一事情就是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)有用特點(diǎn)是它讓你知道期權(quán)發(fā)生在某一價(jià)格上的概率是多少。

期權(quán)的時(shí)間價(jià)值可以用來(lái)衡量證券風(fēng)險(xiǎn)或波動(dòng)率。當(dāng)市場(chǎng)上波動(dòng)率發(fā)生變化時(shí)，期權(quán)價(jià)格也會(huì)改變。期權(quán)價(jià)格不僅反映了市場(chǎng)變動(dòng)而且也反映了波動(dòng)率的波動(dòng)。圖2. 15列示了1994年1～7月IBM股票的歷史波動(dòng)率情況。這一系列波動(dòng)在圖形上以實(shí)線表示。因?yàn)樵谡麄€(gè)時(shí)期風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)發(fā)生巨大的變化，對(duì)于交易者而言存在獲利的機(jī)會(huì)。例如，期權(quán)價(jià)格是市場(chǎng)上實(shí)際波動(dòng)率的函數(shù)，因而當(dāng)波動(dòng)率上升時(shí)，期權(quán)價(jià)格也將上升。在2～3月和后面的4～5月期間，IBM股票的實(shí)際波動(dòng)持續(xù)增長(zhǎng)到一個(gè)接近40%的年率的地方。然后到6月份，波動(dòng)率隨著期權(quán)價(jià)格的下跌而下跌到25%左右。從原理上說(shuō)，期權(quán)交易波動(dòng)率與任何價(jià)格系列的交易沒(méi)有差異：波動(dòng)率低時(shí)買入期權(quán)，波動(dòng)率高時(shí)賣出，通過(guò)這種方式就能賺取利潤(rùn)。就像我們前面說(shuō)過(guò)的健康保險(xiǎn)的例子一樣，假如某人在風(fēng)險(xiǎn)的察覺(jué)上適時(shí)改變，他就能通過(guò)有風(fēng)險(xiǎn)的交易盈利。

圖2. 15　歷史波動(dòng)率

資料來(lái)源：Bloomberg.

隱含波動(dòng)率

隱含波動(dòng)率是考慮期權(quán)費(fèi)的時(shí)間價(jià)值并被今天市場(chǎng)察覺(jué)的風(fēng)險(xiǎn)。它緊隨市場(chǎng)上各種因子產(chǎn)生的變化而發(fā)生變化。要確定隱含波動(dòng)率，需要的是一個(gè)實(shí)際的期權(quán)價(jià)格和一個(gè)理論上的期權(quán)價(jià)格模型。只要將期權(quán)的敲定價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、到期日、短期利率、即將付出的預(yù)期紅利和實(shí)際期權(quán)價(jià)格，輸入理論期權(quán)價(jià)格模型就可計(jì)算出隱含波動(dòng)率。標(biāo)的市場(chǎng)價(jià)格、期權(quán)費(fèi)、期限、短期利率、紅利和到期時(shí)間等都是已知的。惟一未知的變量就是波動(dòng)率。通過(guò)將實(shí)際價(jià)格輸入期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算得出隱含波動(dòng)率。模型將讓交易者明白，只要將波動(dòng)率輸入模型就能計(jì)算出實(shí)際期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格。交易者可以假定計(jì)算波動(dòng)率時(shí)的期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格與其他期權(quán)的敲定價(jià)格具有同一標(biāo)的資產(chǎn)和到期日。假如65美元看漲期權(quán)價(jià)格的隱含波動(dòng)率是25%，預(yù)測(cè)70美元價(jià)格的期權(quán)波動(dòng)率等于有同一標(biāo)的資產(chǎn)的兩份期權(quán)的波動(dòng)率。所以，人們能使用65美元看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率來(lái)預(yù)測(cè)70美元的期權(quán)價(jià)格。實(shí)際上，由于存在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，如同任何價(jià)格系列的變動(dòng)一樣，隱含波動(dòng)率的變動(dòng)取決于市場(chǎng)的供給和需求。圖2. 15列示了IBM股票的隱含波動(dòng)率與實(shí)際30天歷史波動(dòng)率的比較圖。最奇妙的是人們會(huì)看到一系列差異。而對(duì)期權(quán)的交易者而言，必須搞清楚的問(wèn)題是此時(shí)的波動(dòng)率是否能使自己獲利。對(duì)今天的期權(quán)價(jià)格的相關(guān)波動(dòng)率計(jì)量是指隱含波動(dòng)率。然而，人們?yōu)榱嗽谫I賣期權(quán)上最終獲得利潤(rùn)，關(guān)鍵的波動(dòng)率實(shí)際是指已經(jīng)發(fā)生的期貨波動(dòng)率。

預(yù)測(cè)波動(dòng)率

另一種確定波動(dòng)率的方式是利用統(tǒng)計(jì)技術(shù)預(yù)測(cè)它。異方差性（heterscedasticity）是一種對(duì)非常數(shù)變量而言的統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)。因?yàn)樵谑袌?chǎng)上波動(dòng)率預(yù)測(cè)是基于人們的預(yù)測(cè)，所以波動(dòng)率和影響風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)事件之間必然存在某種聯(lián)系。在第四章和第五章中，我將嘗試如何預(yù)測(cè)在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)的未來(lái)波動(dòng)率是多少。但完全可以說(shuō)，目前期權(quán)價(jià)格中最重要因子是需預(yù)期的波動(dòng)率；因?yàn)樗俏┮晃粗囊蜃?，也是人們進(jìn)行期權(quán)交易時(shí)用于決策的惟一因子。

波動(dòng)率影響看漲期權(quán)價(jià)格

當(dāng)市場(chǎng)上進(jìn)行期權(quán)交易時(shí)的波動(dòng)率為20%時(shí)，人們可以考慮以65美元一份買進(jìn)看漲期權(quán)，這時(shí)付出的期權(quán)費(fèi)是每份2.75美元。假如IBM股票價(jià)格下跌至60美元，看漲期權(quán)的價(jià)值將會(huì)下跌。然而，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格下跌的同時(shí)隱含波動(dòng)率增長(zhǎng)至40%，期權(quán)的價(jià)值將增長(zhǎng)至3美元。當(dāng)然，由于波動(dòng)率的上升而引起時(shí)間價(jià)值增長(zhǎng)有時(shí)超過(guò)標(biāo)的市場(chǎng)變動(dòng)產(chǎn)生的影響（見(jiàn)圖2. 16）。另外，當(dāng)波動(dòng)率增長(zhǎng)至40%時(shí)，IBM股價(jià)隨即上升，看漲期權(quán)持有者將獲取雙倍的利潤(rùn)。事實(shí)上，當(dāng)IBM股票價(jià)格保

圖2. 16　90天到期的價(jià)格為65美元的IBM股票看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率變化的影響

持不變而波動(dòng)率上升時(shí)，看漲期權(quán)持有者也將獲得雙倍利潤(rùn)（價(jià)格從2. 75美元升到5. 5美元）。明顯地，相比被忽視的期權(quán)價(jià)格而言，波動(dòng)率的變動(dòng)太重要了。

在隱含波動(dòng)率變動(dòng)方面，這張圖（見(jiàn)圖2. 16）上最有趣的是平價(jià)期權(quán)的價(jià)格會(huì)發(fā)生最大的絕對(duì)數(shù)變動(dòng)。然而，假如我們比較期權(quán)價(jià)格的百分比變動(dòng)和隱含波動(dòng)率的百分比變動(dòng)，發(fā)現(xiàn)期權(quán)處于虧價(jià)時(shí)，期權(quán)價(jià)格會(huì)發(fā)生最大百分比變動(dòng)。

表2. 4　一份65美元看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率增長(zhǎng)和作為一個(gè)IBM股價(jià)的函數(shù)的百分比和絕對(duì)價(jià)格變動(dòng)

表2. 4是由圖2. 16制成，是在標(biāo)的IBM股價(jià)各種水平上的65美元看漲期權(quán)的價(jià)格變動(dòng)。當(dāng)IBM股價(jià)是55美元時(shí)，65美元的看漲期權(quán)完全處于虧價(jià)，波動(dòng)率為20%時(shí)的價(jià)格僅僅是其價(jià)值的1/8，當(dāng)隱含波動(dòng)率上升到40%時(shí)，假如此時(shí)IBM價(jià)格保持在55美元，65美元看漲期權(quán)價(jià)格上升為1 3/8。絕對(duì)變動(dòng)量?jī)H僅是1 1/4的最低量。然而，期權(quán)原始價(jià)值的百分比條款中，百分比最大可以上升到1000%。當(dāng)IBM股價(jià)上升到60美元時(shí)，65美元看漲期權(quán)仍然處于虧價(jià)，此時(shí)的期權(quán)與處于平價(jià)時(shí)的期權(quán)相比，65美元看漲期權(quán)將再次在價(jià)值上有一個(gè)更低的絕對(duì)變動(dòng)。然而，這時(shí)價(jià)格上的百分比變動(dòng)是更大的。當(dāng)期權(quán)處于平價(jià)時(shí)，我們看到，實(shí)際上期權(quán)價(jià)值已是原來(lái)的雙倍。為什么期權(quán)價(jià)值不是精確的增長(zhǎng)雙倍（100%增長(zhǎng)），原因在于IBM股權(quán)是被表示為最小的1/8增量和看漲期權(quán)的理論價(jià)值已經(jīng)是最接近1/8。當(dāng)期權(quán)處于盈價(jià)時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值上的絕對(duì)獲利是下降的。事實(shí)上，期權(quán)處于盈價(jià)越遠(yuǎn)，這個(gè)百分比變動(dòng)率越低。

20世紀(jì)80年代中期，我被美國(guó)的國(guó)債期權(quán)交易的結(jié)果所迷惑。當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格上升時(shí)，我已經(jīng)買入看跌期權(quán)。理論上，看跌期權(quán)將失去它們的價(jià)值。然而，因?yàn)殡[含波動(dòng)率的水平上升，發(fā)生了相反的情況。與買入看漲期權(quán)相比，買入看跌期權(quán)時(shí)，我獲取了更大的百分比收益，因?yàn)榇藭r(shí)可察覺(jué)風(fēng)險(xiǎn)收益的增長(zhǎng)超過(guò)市場(chǎng)變動(dòng)所造成的潛在損失。另外，與看漲期權(quán)相比（對(duì)于同一敲定價(jià)格處于盈價(jià)的期權(quán)），因?yàn)榭吹跈?quán)處于虧價(jià)，且在價(jià)格上與隱含波動(dòng)率的變動(dòng)相同，看跌期權(quán)產(chǎn)生了更高的百分比變動(dòng)。記住，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值中，波動(dòng)率是影響它的最關(guān)鍵的因子。

總之，當(dāng)期權(quán)處于平價(jià)時(shí)，期權(quán)價(jià)格的絕對(duì)敏感度是最大的，當(dāng)期權(quán)處于虧價(jià)時(shí)，期權(quán)價(jià)格的百分比敏感度相對(duì)隱含波動(dòng)率變動(dòng)而言是最大的。

利率和紅利對(duì)期權(quán)的影響

在布萊克和斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式中，最終變量是利率因子。當(dāng)他們?cè)O(shè)計(jì)他們的模型時(shí)，他們要從全方位的角度進(jìn)行考慮，所以他們進(jìn)行期權(quán)投資時(shí)就這樣考慮他們的投資方案。布萊克和斯科爾斯要弄明白的是，期權(quán)有效期內(nèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)存款的投資，特別是假如投資者將已買或賣的期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)頭寸一起創(chuàng)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的頭寸時(shí)的投資。然而創(chuàng)造的頭寸收益率應(yīng)當(dāng)?shù)扔谕却婵罾?。由于受確定的最終變量的影響，期權(quán)持有者或賣方不能盈利（這也是眾所周知的“無(wú)套利者”強(qiáng)制）。在許多期權(quán)市場(chǎng)上，利率因子是嘗試性的影響因子。對(duì)于我將在后面章節(jié)中討論的期貨合約期權(quán)相類似的情況，我將能夠完全消除利率對(duì)它的影響。然而，要將這個(gè)問(wèn)題引用到案例中，需要弄清更多的理論問(wèn)題，這在后面章節(jié)中會(huì)有闡述。

付出紅利以及如同息票一樣的其他現(xiàn)金流入會(huì)造成相當(dāng)直接的后果。人們將這些付出視為“負(fù)的”借入和需要購(gòu)買股票或債券購(gòu)入成本的減少。以后我將討論連續(xù)付出紅利和當(dāng)大筆付出紅利時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況。

【注釋】

[1]這是“一件大事”：布萊克和斯科爾斯：《期權(quán)定價(jià)和公司負(fù)債》，《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》，1973年5至7月，第637～659頁(yè)。當(dāng)他們得到所有的榮譽(yù)時(shí)，麻省理工學(xué)院的羅伯特·C.默頓（Robert C. Merton）也很熱心于解決這一問(wèn)題并找到了答案。看默頓：《期權(quán)定價(jià)合理性理論》，《貝爾經(jīng)濟(jì)和管理科學(xué)雜志》，1973年春季第141 ～183頁(yè)，這是早期有關(guān)期權(quán)定價(jià)方面最好的文章。

[2]執(zhí)行價(jià)格需要換算是因?yàn)椴既R克和斯科爾斯公式計(jì)算的僅僅是歐式期權(quán)。對(duì)于美式期權(quán)，立即執(zhí)行的結(jié)果就是內(nèi)在價(jià)值等于現(xiàn)行標(biāo)的價(jià)格和敲定價(jià)格之差。對(duì)于歐式期權(quán)，惟有未來(lái)到期日?qǐng)?zhí)行時(shí)才能實(shí)現(xiàn)內(nèi)在價(jià)值。要決定今天同樣的執(zhí)行價(jià)格，我們必須將未來(lái)執(zhí)行價(jià)格折算為現(xiàn)行價(jià)值，e-rT是為得到這一結(jié)果的利率因子。

[3]這不是給付息票或紅利的資產(chǎn)的看漲期權(quán)。然而，對(duì)于期貨期權(quán)，這不是一個(gè)問(wèn)題。進(jìn)而，存在這樣一種情況，即提早執(zhí)行看跌期權(quán)可以說(shuō)有道理，羅伯特C.默頓早期發(fā)表的文章介紹了這一個(gè)激烈的爭(zhēng)論。

[4]對(duì)于不熟悉這一概念的人，可以通過(guò)讀第四章前面幾節(jié)，再不時(shí)返回這一部分來(lái)弄清。

[5]為了更清楚的了解，可以看勞倫斯·蓋茨（Lawrence Galitz），《財(cái)務(wù)工程》，財(cái)務(wù)時(shí)報(bào)/皮特曼（Pitman）出版社，1994年，第210～216頁(yè)，或看本章的內(nèi)容。

[6]布萊克和斯科爾斯實(shí)際上沒(méi)有為看跌期權(quán)價(jià)格制定一個(gè)模型。然而，通過(guò)下一章將要講述的簡(jiǎn)單套期技術(shù)，人們能從布萊克和斯科爾斯看漲期權(quán)定價(jià)中推導(dǎo)出看跌期權(quán)價(jià)格。

[7]假如確定期權(quán)價(jià)格的其他變量是不變的（當(dāng)然這僅僅是為了討論問(wèn)題的方便，實(shí)際情況不可能這樣），這一討論是眾所周知的“假使其余情況均相同（Ceteris Paribus）”。然而，因?yàn)槿藗儾荒茴A(yù)測(cè)未來(lái)，必須以預(yù)測(cè)結(jié)果為基礎(chǔ)做出相關(guān)決定。人們期望，買入還有較長(zhǎng)時(shí)間到期的期權(quán)并在到期日之前賣出它們這一方案，優(yōu)于買入就要到期的期權(quán)并讓它們到期這一方案。

[8]在期權(quán)市場(chǎng)上可比的狀況是將先前從市場(chǎng)買回的期權(quán)再賣出去。假如波動(dòng)率已經(jīng)上升，期權(quán)價(jià)值更高，因而期權(quán)持有者將獲利。